Jordan Ellenberg: Miten välttää virheet, matemaattisen ajattelun voima
Sain viimeinkin
luetuksi ns. omaan alaani tiiviisti liittyvän kirjan, ”Miten
välttää virheet, matemaattisen ajattelun voima”.
Luku-urakan jälkeen
en ole aivan varma siitä, että täyttääkö kirja aivan kokonaan
ne jättimäiset odotukset, jotka se nimivalinnallaan päälleen
kasaa. Uskallan silti väittää, että kyllä se käsittelee nimensä
mukaista asiaa, vaikka kaikkia tulevia virheitä lukija ei
luultavimmin onnistukaan välttämään, vaikka teoksen ajatuksella
lukisikin, ja lukemaansa soveltaisi.
Ellenberg: Miten välttää virheet, matemaattisen ajattelun voima. |
Kirjassa käsitellään
monia aiheita esimerkiksi tiettyyn lottopeliversioon liittyvästä
ansaintamahdollisuudesta jumalan olemassaolon tai olemattomuuden
päättelemisen kautta siihen, miten usein ihmisen on hyvä myöhästyä
lentokoneesta.
Lentokoneet ja luodinreiät
Olet ehkä
kuullutkin toisen maailmansodan aikana tapahtuneesta matemaattisesti
mielenkiintoisesta tehtävästä, jonka USA:n asevoimat antoi
tilastolliselle tutkimusryhmälleen. Tarinan oivallus on liiankin
helppo sen jälkeen, kun tarinan on kuullut, mutta se on kaukana
itsestäänselvyydestä.
USA:n sotatoimissa
käytetyissä lentokoneissa olleet luodinreiät olivat kasaantuneet
koneiden tiettyihin osiin, ja armeijan päälliköt olivat
päättäneet, että näihin kohtiin pitää lisätä jonkinlainen
panssarointi, kun lentokoneita ei voinut painonlisäyksen takia
panssaroida kokonaan. Tutkijoille he antoivat tehtäväksi laskea
tilastollisesti, miten tuo panssarointi pitäisi rajata
optimaalisesti.
Lopputulos oli
kuitenkin toisenlainen. Tutkimusryhmän matemaatikko Abraham Wald,
teoreetikoista teoreettisin, pystyi päättelemään, mikä
tilastollinen ilmiö aiheutti luodinreikien kasaantumisen. Järkevä
alkuoletus on, että lentokoneeseen osuvat luodit kertyvät täysin
satunnaisiin paikkoihin, ja jakautuvat tilastollisesti tasaisesti.
Sen sijaan vaarallisiin kohtiin osuneet luodit pudottavat hyvin
suurella todennäköisyydellä koneen vihollismaastoon, eikä sen
luodinreikiä voida näin ollen laskea mihinkään tilastoihin. Koska
näihin tilastoihin olivat päätyneet vain palanneet koneet, niin
niissä olevat luodinreiät olivat kohdissa, joihin osuminen ei
ainakaan ollut aiheuttanut koneen putoamista. Suositus olikin
panssaroida ne kohdat, joissa tilaston mukaan osumia oli vähiten.
Vähemmän Ruotsin kaltainen
Entä mihin perustuu
ajattelu, kun USA:ssa toimiva oikeistolainen ajatushautomo ilmoittaa
että USA:n taloussysteemiä pitää muuttaa nykyisestä kohti
puhdasta amerikkalaista kapitalismia ja poispäin ruotsalaisesta
mallista, ja selittää oikeassa olonsa todistuvan silläkin, että
Ruotsi itsekin muuttaa taloudellista systeemiänsä
ruotsalaistyylisestä kohti amerikkalaista, joten Ruotsikin on jo
siirtynyt heidän kanssaan samalle linjalle?
Tässä päättelyssä
kyse on virheellisestä matemaattisesta mallista, joka esitetään jo
lähtöoletuksena. Oletus on että jos yhdessä tilanteessa
amerikkalaisuuden lisääminen parantaa kansakunnan menestystä ja
onnea, niin amerikkalaisuuteen päin kulkeminen on aina samassa
suhteessa ja lineaarisen funktion mukaisesti hyödyllistä.
Hieman lähempänä
Obaman linjaa oleva ajatushautomo esittäisi, että amerikkalaisuuden
ja ruotsalaisuuden akselilla on olemassa optimaalinen tila jossain
Ruotsin ja Yhdysvaltain välillä, ja Yhdysvaltain järjestelmän
muuttaminen ruotsalaisemmaksi parantaisi Yhdysvaltain tilannetta, ja
todennäköisesti myös Ruotsin muuttaminen hieman amerikkalaisempaan
suuntaan olisi Ruotsille hyväksi.
Kirjassa ei siis
väitetä mitään tiettyä poliittista suuntausta oikeaksi, ja siinä
vältetään oman poliittisen kannan todisteleminen matemaattisilla
perusteilla. Mutta se että harva funktio toimii sillä tavoin
lineaarisesti, että jos lisäät tiettyä asiaa, niin se on aina
yhtä hyödyllistä. Esimerkiksi ajonopeuden lisäämisen
hyödyllisyys varmaan riippuu paljon siitä, onko alkuperäinen
nopeus 120 km/h vai 20 km/h. Ja tämän hahmottaminen osoittaa
tietynlaiset populistiseen yliyksinkertaistamiseen viittaavat
todistelut omien väitteiden tueksi matemaattiselta kannalta
epäuskottaviksi. Liikaa jotain periaatteessa hyvää asiaa ei ole aina hyväksi.
Tilastollinen merkitsevyydestä ja yleisen mielipiteen olemassaolosta
Lisäksi kirjassa
käsitellään tilastollista merkitsevyyttä. Eli mistä siis on
kyse, kun tällaista käsitettä käytetään.
Koska
epätodennäköisiä tuloksia tapahtuu myös sattumalta,
tilastollisesti merkitseviä tuloksia saadaan esiin myös
tutkimuksista, joissa todellisuudessa tapahtuu vain tilastokohinaa.
Ja jos riittävän paljon tutkimuksia tehdään, tai etsitään
samasta tutkimusaineistosta tilastopoikkeamia, niin on jopa varmaa,
että jokin tilastollisesti merkitseväksi luettava tilastopoikkeama
löytyy.
Joten mitä
vaaditaan, jotta tilastollisista työkaluista olisi hyötyä, eikä
niitä voisi käyttää väärin omien tutkimustulosten
harhaanjohtavaan markkinointiin? Sitäkin kirjassa käsitellään
varsin valaisevasti.
Myös yleisen
mielipiteen epäselvän haasteellinen luonne saa kirjassa oman
osansa. On aivan mahdollista, että yhtä edustajaa valittaessa
samaan aikaan ehdokas A on suositumpi kuin B, B on suositumpi kuin C,
ja C on suositumpi kuin A. Siis vaikka jokainen yksilö asettaisi
kaikki ehdokkaat selkeään paremmuusjärjestykseen, eikä mihinkään
kivi/paperi/sakset -tyyliseen rinkiin.
Ja on mahdollista,
että vaikka suurin osa ihmisiä kannattaa yleisesti julkisten
menojen leikkausta, niin enemmistö vastustaa jokaista menokohdetta
erikseen kysyttynä. Ja vaikka tämä on vielä helppo uskoa
höperöstä vaalikarjasta, niin sanotaanpa vielä, että tämä
kaikki on aivan mahdollista, vaikka yksikään yksittäinen äänestäjä
ei olisi itsensä kanssa ristiriidassa, eli jokainen sellainen
yksilö, joka kannattaa julkisten menojen leikkausta olisi täysin
suostuvainen sellaiseen kokonaisuuteen, jossa menoja myös leikataan.
Vaikka tämän
kirjan lukeminen vaati minulta väsähtäneeltä yläkoulunopettajalta
jokusen lainanuusinnan kirjastosta, niin silti ilman muuta
suosittelen muitakin lukemaan tämän kirjan, jos pientäkin
kiinnostusta matemaattisen näkökulman avaamiseen voisi löytyä.
* * * * *
* * * * *
Viimeisessä kappaleessa on kirjoitusvirhe "ilamn". Ah, kuinka hyvää tekikään korjata opettajan oikeinkirjoitusta :) noh, vitsailu sikseen.
VastaaPoistaAihe on tosi kiinnostava! Tilastollinen ajattelu ei ole ihmisille luontaista - evoluutio ei ole ohjannut siihen ja olemme todella huonoja ajattelemaan tilastollisesti. Eräässä doumentissa oli mielenkiintoisia elinikään ja onnettomuuksiin liittyviä tilastoja. Pelkäämme laskuvarjohyppyä, vaikka todennäköisyys kuolla on todella pieni, sen sijaan kiipemämme aristelematta keittojakkaralle vaihtamaan lamppua vaikka riski kuolla on yllättävän korkea jne.
Tilastollisesta ajattelusta on hyötyä myös sijoittamisessa ja säästämisessä. Täytyypä käydä lainaamassa kirja.
Kiitos kirjoitusvirheen oikaisusta, nyt on korjattu. Kun en opeta äidinkieltä, niin en näitä stressaa, mutta ymmärrettävyyden kannalta oikeinkirjoitus on aina tärkeää. Ja kiitos kommentista ylipäätään!
PoistaTuo "Ruotsin kaltainen" -osiossa ilmaistu asia on se, mikä minua eniten häiritsee Suomen tuloerokeskustelussa.
VastaaPoistaKoska pienemmän tuloerojen maissa asiat on monella tavoin paremmin kuin isojen tuloerojen maissa, niin sillä perustellaan, että tuloeroja pitäisi pienentää täälläkin, vaikka Suomi on jo valmiiksi maa, jossa tuloerot ovat pienimpiä maailmassa. Se, että suurten tuloerojen maiden olisi syytä pienentää tuloerojaan, ei tarkoita, että pienten tuloerojen maiden tulisi tehdä samoin. Varsinkin, kun tiedetään kuinka vaarallisia olemattomat tuloerot ovat.